Обзор учебников по алгебре и началам математического анализа для 10-11 классов, содержащих тему «Комплексные числа»

Существует небольшое количество авторов, включающих тему «Комплексные числа» в свои учебники для средних общеобразовательных учреждений.

В учебнике для математических классов Н.Я.Виленкина, О.С.Ивашева-Мусатова, С.И.Шварцбурда «Алгебра и начала математического анализа», тема «Комплексные числа» вводится в 11 классе. Изучение темы предлагается во втором полугодии 11 класса после того, как в 10 классе был изучен раздел тригонометрии, а в 11 – интеграл и дифференциальные уравнения, показательная, логарифмическая и степенная функции, многочлены. В учебнике тема «Комплексные числа и операции над ними» разбита на два параграфа: Комплексные числа в алгебраической форме; Тригонометрическая форма комплексных чисел.

Рассмотрение темы «Комплексные числа и операции над ними» начинается с рассмотрения вопроса о решении квадратных уравнений, уравнений третьей и четвертой степени и, как следствие, выявляется необходимость введения «нового числа i». Сразу же даются понятия комплексных чисел и действий над ними: нахождение суммы, произведения и частного комплексных чисел. Далее дается строгое определение понятия комплексного числа, свойства операций сложения и умножения, вычитания и деления. В следующем пункте говорится о сопряженных комплексных числах и некоторых их свойствах. Далее рассматривается вопрос об извлечении квадратных корней из комплексных чисел и решение квадратных уравнений с комплексными коэффициентами.

В следующем параграфе рассматриваются: геометрическое изображение комплексных чисел; полярная система координат и тригонометрическая форма комплексных чисел; умножение, возведение в степень и деление комплексных чисел в тригонометрической форме; формула Муавра, применение комплексных чисел к доказательству тригонометрических тождеств; извлечение корня из комплексного числа; основная теорема алгебры многочленов; комплексные числа и геометрические преобразования, функции комплексного переменного.

Как мы видим, материал учебника достаточно обширен, рассчитан на большое количество часов и включает в себя как все необходимые начальные знания по разделу «Комплексные числа», так и некоторые углубления.

В учебнике С.М. Никольского, М.К. Потапова, Н.Н. Решетникова, А.В. Шевкина «Алгебра и начала математического анализа», тема «Комплексные числа рассматривается в 11 классе после изучения всех тем, т.е. в конце школьного курса алгебры. Тема разделена на три параграфа: Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел; Тригонометрическая форма комплексных чисел; Корни многочленов, показательная форма комплексных чисел. Содержание параграфов достаточно объемное, содержится много понятий, определений, теорем. В параграфе «Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел» содержится три раздела: алгебраическая форма комплексного числа; сопряженные комплексные числа; геометрическая интерпретация комплексного числа. Параграф «Тригонометрическая форма комплексного числа» содержит определения и понятия необходимые для введения понятия тригонометрической формы комплексного числа, а также алгоритм перехода от алгебраической формы записи к тригонометрической форме записи комплексного числа. В последнем параграфе «Корни многочленов. Показательная форма комплексных чисел» содержится три раздела: корни из комплексных чисел и их свойства; корни многочленов; показательная форма комплексного числа.

Материал учебника представлен в небольшом объеме, но вполне достаточном для понимания учащимися сути комплексных чисел и овладением минимальных знаний о них. В учебнике небольшое количество упражнений и не рассматривается вопрос о возведении комплексного числа в степень и формула Муавра.

В учебнике Ю.М. Колягина, Ю.В. Сидорова, М.В. Ткачевой, Н.Е. Федоровой, М.И. Шабунина «Алгебра и начала математического анализа», 11 класс тема «Комплексные числа» рассматривается после изучения тем «Производная и ее применения» и «Интеграл». Тема разбита на 9 параграфов (два из которых со звездочкой), практическую часть – упражнения к главе «Комплексные числа» и раздел «Историческая справка». В первом параграфе «Определение комплексных чисел» рассматривается разрешимость уравнений в тех или иных множествах и вводятся новые числа, которые вместе с действительными числами образуют множество комплексных чисел. Дается определение комплексных чисел. Во втором параграфе «Сложение и умножение комплексных чисел» вводятся определения сложения и умножения комплексных чисел, переместительное, сочетательное и распределительное свойства сложения и умножения комплексных чисел. В третьем параграфе «Модуль комплексного числа» вводится понятие сопряженного комплексного числа и определение модуля комплексного числа. В параграфе «Вычитание и деление комплексных чисел» операция вычитании вводится как обратная операции сложения комплексных чисел, а операция деления – как обратная операции умножения комплексных чисел. Пятый параграф «Геометрическая интерпретация комплексных чисел» разбит на три пункта: «Комплексная плоскость», «Геометрический смысл модуля комплексного числа», «Геометрический смысл модуля разности комплексных чисел». Вводятся понятия комплексной плоскости, действительной и мнимой осей. В параграфе «Тригонометрическая форма комплексного числа» рассматриваются понятия аргумента комплексного числа, алгебраической формы комплексного числа, тригонометрическая форма записи комплексного числа, переход от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической форме записи комплексного числа. Седьмой параграф «Свойства модуля и аргумента комплексного числа» идет в данном учебнике под звездочкой, что подразумевает необязательное его изучение. В данном параграфе рассматриваются произведение и частное комплексных чисел в тригонометрической форме, а также формула Муавра. В следующем параграфе «Квадратное уравнение с комплексными неизвестными» рассматривается квадратное уравнение и выявляется, в каких случаях и сколько корней оно имеет. Далее переходят к рассмотрению корня из отрицательного числа и к решению квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом. Последний параграф темы «Комплексные числа» – «Примеры решения алгебраических уравнений» – в учебнике отмечен звездочкой и рассматривает 4 разных типа задач. В конце материал обобщается и делается вывод, который называют основной теоремой алгебры.