Взаимосвязь алгебры и начала анализа в процессе решения задач

Наиболее полное осуществление принципа дифференцированного подхода к каждому учащемуся реализуется в процессе решения задач. Первое и основное требование к подбору задач состоит в том, чтобы каждая из них носила творческий характер, способствовала пониманию учащимися основ теории, приобщению их к той или иной важной математической идее. Решение задач должно быть важным средством интенсификации процесса обучения математике. Именно задачи могут обеспечить органическое единство изучения всех тем курса математики.

Задачный материал внутри каждой темы должен быть подобран таким образом, чтобы его решение способствовало уяснению учащимися данной темы и новых математических идей, заложенных в ней; помогало осуществить повторение предыдущего материала на основе нового, решить старые задачи новыми методами; содержало в себе пропедевтику последующих тем курса.

В настоящей статье мы хотим показать реализацию принципа тесной взаимосвязи между различными темами курса алгебры и математического анализа в классах с углубленным изучением математики. Такая связь дает учителю возможность одновременно заниматься изучением сегодняшнего материала, повторением вчерашнего и подготовкой к освоению завтрашнего: тем самым каждая тема изучается не сама по себе, а в комплексе с другими. Это способствует развитию творческого мышления, экономии времени, интенсификации учебного процесса, лучшему усвоению материала, закреплению максимального количества навыков и умений.

Возможность осуществления этого принципа мы рассмотрим на примере решения задач, так или иначе связанных с темой «Многочлены».

В теме «Действительные числа» часто рассматриваются задачи на доказательство того факта, что данное число является иррациональным.

Пример 1. Доказать, что число а = Ö2 + Ö3 иррациональное.

Решение. Предположим противное: пусть а — число рациональное. Тогда а2 = 5 + 2Ö6 и Ö6= -число рациональное. Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше предположение неверно — число а = Ö2 + Ö3 иррациональное.

Пример 2. Доказать, что число а = 3Ö2 + 3Ö3 иррациональное.

Решение. Предположим противное: пусть aÎQ, тогда

а3 = 2 + 3 + З3Ö6 (3Ö2 + 3Ö3), а3 - 5 = За3Ö6

и 3Ö6 = (а3 — 8) — число рациональное. Мы снова пришли к противоречию, доказывающему, что 3Ö2 + 3Ö3 — число иррациональное.

Заметим, что схема решения в обоих случаях одинакова. Предположив, что данное число рациональное после возведения в соответствующую степень, мы приходим к противоречию — в одной части равенства получается число иррациональное, в другой рациональное.

Казалось бы, нет никаких преград для решения подобных задач с другими числовыми данными. Однако следующий пример показывает, что это не совсем так.

Пример 3. Доказать, что число х0 = 3Ö2 + 3Ö4 иррациональное.

Решение. После возведения в куб получается равенство

или ,

которое не дает возможности сделать заключение, подобное сделанному при решении примеров 1 и 2. Приходится искать новые пути решения. Один из таких путей появляется после изучения в теме «Многочлены» следующей теоремы и ее следствий:

Пусть несократимая дробь х0 =(pÎZ, qÎN) является корнем многочлена апхn + ап-1хn-1 + . + а1х1 + а0 (ап ¹ 0) с целыми коэффициентами. Тогда р — делитель а0, q — делитель ап.

Следствие 1. Любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами является делителем его свободного члена.

Следствие 2. Всякий рациональный корень приведенного многочлена с целыми коэффициентами является целым.

Теперь можно воспользоваться следующим алгоритмом для доказательства иррациональности числа а:

1. Составить приведенный многочлен с целыми коэффициентами, корнем которого является число а.

2. Доказать, что он либо вовсе не имеет целых корней, либо ни один из его возможных целых корней не может быть равен а.

Возвратимся к примеру 3. Переписав равенство (2) в виде — 6x0 — 6 = 0, видим, что число хо = 3Ö2 + 3Ö4 является корнем приведенного многочлена х3 — 6х — 6. Число хо = 3Ö2 + 3Ö4 рациональным быть не может, так как иначе оно должно быть целым, но 2 < 3Ö2 + 3Ö4< 4, а число 3 корнем данного многочлена не является. Следовательно, х0 = 3Ö2 + 3Ö4 — число иррациональное.