О взаимосвязях алгебры с геометрией

В обучении недопустим отрыв алгебры от геометрии. Напротив, когда нужно придать наглядность отвлеченным фактам и отношениям, когда нужны ускоренные методы решения задач и требуются надежные средства контроля, приходят на помощь геометрические представления.

Проследим, какие успехи уже достигнуты в отношении геометрических представлений в курсе алгебры и чего еще нужно добиваться в дальнейшем.

Уже в курсе математики 5 класса учащиеся, встречаясь с понятием «величина» и различных частных ее числовых значений, осмысливают отвлеченную схему геометрическими образами. Сюда относятся разного рода диаграммы: линейные, прямоугольные, столбчатые, секторные. Длины рек и высоты гор изображаются отрезками надлежащей длины; добыча угля, железа и тому подобного по годам — прямоугольниками надлежащей высоты с равными основаниями; распределение земельных угодий, бюджет времени школьника и т. п. — секторами круга, пропорциональными центральным углам. На этом этапе учащиеся знакомятся с масштабом. В данной связи нужно упомянуть чтение и в особенности составление планов и карт, укрепляющих идею пропорциональности.

Весьма важный этап — переход к использованию числовой о с и, на которой числовые значения величины изображаются точками. Числовая ось естественно и неизбежно употребляется в связи с введением отрицательных чисел; однако вполне возможно и желательно, чтобы учащиеся ради разделения трудностей знакомились с нею ранее введения отрицательных чисел. Тогда пришлось бы говорить о числовой полупрямой, или числовом луче.

Должно быть очень хорошо разъяснено, что положительные значения величины изображаются отрезками, отложенными от начала в одном и том же положительном направлении (вправо); но если начало всех отрезков одно и то же, то достаточно указывать лишь их концы; таким образом, оказывается, что значения величин изображаются точками. Раньше введения отрицательных чисел учащиеся должны усвоить изображение точками на луче дробных чисел, заданных в виде обыкновенных или десятичных дробей.

При введении отрицательных чисел луч продолжается влево, превращаясь в прямую (ось). При этом абсолютное значение числа, сравнение положительных и отрицательных чисел по величине и четыре основных действия над этими числами получают наглядное истолкование.

При выполнении упражнений следует подчеркивать, что числовая ось может быть использована при рассмотрении любой величины, независимо от ее природы: на числовой оси могут быть изображены не только длины рек, высоты гор и прочие линейные величины, но также площади государств, объемы сосудов, температуры, скорости передвижения различных видов транспорта и т. д.

Координатная плоскость в качестве отвлеченного объекта рассмотрения составляет пункт программы 7 класса; но в пропедевтическом порядке учащиеся встречаются с нею и раньше, в 6 классе, например, в связи с температурными графиками или графиками движения поездов. Координатная плоскость служит для изображения, в виде точек на плоскости, числовых значений пары величин (таковы в названных примерах «время — температура» или «время — пройденный путь»).

Усвоение соответствия между парами чисел и точками координатной плоскости, а также обратного соответствия (в первую очередь рассматриваемого в аналитической геометрии) не представляет затруднений для учащихся. Гораздо труднее ими усваивается соответствие между уравнением и его графиком — геометрическим местом точек, координаты которых удовлетворяют уравнению. Но это и во много раз важнее. Чтобы установить соответствие между данным уравнением и его графиком, у учащегося нет другого средства, как построить на чертеже (листе клетчатой бумаги) достаточное число точек графика и затем соединить их плавной кривой. Правда, в немногих простых случаях можно найти график путем логического рассуждения или, применяя более сильные средства (например, средства математического анализа), установить, по крайней мере, некоторые его свойства. Однако логика школьника на данном этапе еще недостаточно надежна, чтобы на нее можно было смело опереться; ограничиться упомянутыми простейшими случаями недостаточно, а усовершенствованных средств еще нет в распоряжении учеников.

Поэтому необходимо научить их при первой же встрече с координатной плоскостью строить графики уравнений по точкам. Это — главная задача, которую должен ставить перед собой преподаватель, работая в классе с координатной сеткой. Конечно, имеется в виду усвоение координатного принципа; из него вытекают детализация, особенности частных случаев.

В 7 классе, согласно программе, надлежит заниматься прямыми линиями; однако показывать в числе первых примеров также и простейшие криволинейные графики (например, обратную пропорциональность) было бы весьма желательно. По поводу прямых линий наиболее важно иметь в виду следующие замечания